まずはこれを
Aさんがサイコロを2回振って出た目を記録する。その結果を知らないBさんに「2の目が出た確率は?」と聞く。答えは（サイコロが完全にランダムとすれば）11/36となる。これが事前確率である。
次にAさんは「出た目の和は6だった」というヒント（新たな情報）を出す。そうすると2の目が出た確率は2/5となる。これが事後確率である。
Wikipedia事後確率の項
どうやら、不確かなものごとに対してそれが起こる割合を見積もられた数字を事前確率というようです。
そして、事前確率にある条件を付け加えることによって変化？したものが事後確率となります。
モンティ・ホール問題で言えば、最初に正解のドアを開ける確率が事前確率、これに「司会者がハズレのドアを1つ開ける」という条件が加わったのが事後確率ということになるんです。
この事前確率から事後確率を合理的に求めるのがベイズの定理です。
P(A)=事象Aが起こる確率
P(B)=事象Bが起こる確率
P(A|B)=事象Bが発生した時の事象Aの確率
そして、P(B|A)が事象Aが発生した時の事象Bです。
例えば、2枚のコインがあり、コイン1は表が白、裏が黒、コイン2は表も裏も白です。この2枚のコインを袋に入れ、1枚だけ取り出します。どっちのコインかは確認せずに取り出したコインを片面だけ見ると白でした。
さて、この状態で取り出したコインがコイン1である確率は？これをベイズの定理から導き出します。
求めたいのはP(B|A)つまり、「コインの白い面が出たときのコイン1である確率（事象Aが発生した時の事象B）」です。
まず、P(A)が「コインの白い面が出る（事象A）は3/4」、P(B)が「コイン1である（事象B）は1/2」。
そして、P(A|B)「コイン1のときに白い面が出る確率（事象Bが発生した時の事象Aの確率）は1/2」なので、ベイズの定理に当てはめると
1/2×1/2÷3/4
取り出したコインがコイン1である確率は1/3ということになります。
ベイズの定理は意外と身近なところにも応用されているみたいなので、是非これから使ってみてください！